Pregunta 1:

A continuación, se presenta una serie de declaraciones relacionadas con el sesgo en el muestreo, señale de forma breve el tipo de sesgo que se observa y como podría solucionar el problema de sesgo. Si no observa sesgo en alguna de las declaraciones, comente solamente que es un experimento sin sesgo:

1. La Tercera quiere conocer la opinión de la gente sobre una propuesta de ley sobre el matrimonio igualitario. Un reportero del diario sale de la central ubicada en Las Condes y selecciona al azar a 300 personas que pasean por allí, preguntándoles sobre la ley propuesta. ¿Qué podemos decir de este plan de muestreo?.

Si bien es una muestra al azar, no es representativa, púes es al azar solo dentro de cierto subjunto. Este sería un sesgo de conveniencia, pues se escogen personas que son más faciles de entrevistar en vez de priorizar la representatividad del conjunto.

2. Una empresa de telefonía quiere conocer el grado de satisfacción de los propietarios de su nuevo servicio 5g, para ver que tal es la calidad del servicio entregado. Para ello, selecciona al azar 500 números entre todo el conjunto de clientes, colocándose en contacto telefónico con ellos. ¿Qué podemos decir de este plan de muestreo?

Quien tenga problemas de conectividad no podrá responder la encuesta. En esta muestra el sesgo más probable de ocurrir es del marco de muestreo (sampling frame bias), pues el grupo de personas con problemas de conexión no está incluida en el espacio muestral.

3. Una compañía aérea quiere hacer una encuesta a sus clientes para mejorar su servicio. Durante un mes, envía un correo electrónico a una muestra aleatoria de clientes que hayan volado con la aerolínea el día anterior (ningún cliente será contactado más de una vez). En el correo electrónico se indica que la compañía aérea desea que el cliente rellene una encuesta de 10 minutos para ayudar a la compañía a mejorar su servicio. ¿Qué podemos decir de este plan de muestreo? ¿el sorteo de un producto podría solventar esto?.

Las personas que respondan las encuesta serán quienes logren destinar 10 minutos en ella, para lo cual se requiere de tiempo y motivación. Este grupo de personas no necesariamente es un grupo representativo. Es por esto que probablemente existirá un sesgo de no respuesta.

El sorteo de un producto podría aumentar el número de personas y como consecuencia reducir el sesgo. Aun así, el grupo de personas que no quieren responder no necesariamente se anularía, por lo que seguiria parte del sesgo, aunque probablemente menor.

Pregunta 2:

Explique una buena practica para desarrollar un muestreo, ¿Cree que en una encuesta real es factible obtener una muestra sin sesgo?

Una buena práctica de muestreo es el muestreo aleatorio (random sample), el cual puede ser estratificado o no. Este método se utiliza para evitar sesgos en la elección de la población. El muestreo aleatorio estratificado, si bien es al azar, asegura ciertos porcentajes de participación de subconjuntos de la población.

Existen distintos tipos de sesgo, algunos son más dependiente de quien realiza la encuesta (sesgo de tamaño, sesgo de conveniencia, etc) y otros de los entrevistados (no respuesta, respuesta inorrecta, etc). Quien realiza la encuesta puede minimizar ciertos sesgos pero anularlos no es factible. Es por esto que en una encuesta real no es factible obtener una muestra sin sesgo.

Pregunta 3:

Nombre una ventaja y una desventaja del método de máxima verosimilitud. Justifique cada una de las ventajas y desventajas señaladas.

Para utilizar este método se le debe entregar una diistribución a priori, es decir, se deben visualizar y analizar los datos. Esto representa una desventaja a la hora de buscar la distribución óptima de los datos, pues la selección de la distribución representa gran parte del trabajo.

Por medio de este método el problema de estimación se transforma en un problema de optimización. Esto representa una ventaja, pues se puede encontrar un óptimo minimizando una ecuación.

Pregunta 4:

Considere que recopila \(X_{1},...,X_{n} \sim Poisson(\theta)\) donde \(\theta\) es un parámetro desconocido. Calcule el estimador de máxima verosimilitud para \(\theta\). Considere la siguiente expresión para la Poisson:

\[ f(X_{i};\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\theta^{X_{i}}e^{-\theta}}{X_{i}!}\]

Nota: Puede ser útil utilizar el logaritmo natural para inferir \(\theta\).

\[ ln(f(X_{i};\theta)) = \sum_{i=1}^{n}(X_{i} \cdot ln(\theta) - \theta - ln(X_{i}!))\] \[ ln(f(X_{i};\theta)) = \sum_{i=1}^{n} X_{i} \cdot ln(\theta) - n \cdot \theta - \sum_{i=1}^{n} ln(X_{i}!)\] Ahora optimizamos, derivando e igualando a cero. Primero, derivamos la expresión:

\[ \frac{d ln(f(X_{i};\theta))}{d \theta} = \sum_{i=1}^{n} X_{i} \cdot \frac{1}{\theta} - n\] Luego, igualamos a cero, con lo cual se obtiene lo siguiente:

\[ \frac{d ln(f(X_{i};\theta))}{d \theta} = 0 \longrightarrow \theta = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}\] Es decir, el estímador de máxima verosimilitud de \(\theta\) corresponde a la media de los valores \(X_{i}\).

Pregunta 5:

Suponga que usted ha realizado una sampling distribution de dos encuestas diferentes en los que obtiene los datos Muestreo 1 y Muestreo 2, al momento de estimar el parámetro \(\beta\) de cada uno de los muestreos, se da cuenta que el estimador para los diferentes datos varia según el tamaño de observaciones (n). Al darse cuenta de esto, gráfica el histograma del comportamiento de los estimadores, obteniendo los siguientes gráficos:

Suponiendo que la linea roja en los gráficos representa el valor real del parámetro para cada muestra, comente las características que observa en la evolución del estimador para el Muestreo 1 y el Muestreo 2.

La muestra 1 representa de mejor forma al conjunto total. Esta debe ser una muestra insesgada, la cual probablemente se obtiene al azar (random sampling). Al ser una muestra insesgada, esta representa al conjunto y por ley de los grandes números el parámetro \(\beta\) tiende al valor real.

La muestra 2 no representa al conjunto total, lo que significa que existe por lo menos un tipo de sesgo en esta muestra. Se puede ver claramente como los datos convergen a un valor erroneo de \(\beta\), con esto podemos saber que el sesgo no es de tamaño, sino que del grupo escogido.

Pregunta 6:

Considere que esta trabajando con intervalos de confianza al \(95\%\) e intenta estudiar un parámetro \(\theta\), ¿porque es incorrecto decir, en la visión frecuentista, que la probabilidad que \(\theta\) pertenezca al intervalo es del \(95\%\)?

En la visión frecuentista los parámetros de las distribuciónes son constantes pero desconcocidos, lo que varía son los datos que obtenemos. Es por esto que el intervalo es el que puede o no incluir el valor real de \(\theta\), ya que este es el ue varía.

Pregunta 7:

Se sabe que al realizar un test de hipótesis es posible equivocarse al tomar una decisión. Sí denotamos \(H_0\) como la hipótesis nula y \(H_1\) como la hipótesis alternativa, existen dos posibles errores que se pueden obtener:

• Rechazar \(H_0\) cuando \(H_0\) era correcta.
• Aceptar \(H_0\) cuando \(H_1\) era correcta.

En base a los errores señalados, de un ejemplo de cuando es más relevante disminuir las opciones de aceptar \(H_0\), si \(H_1\) es la correcta.

Supongamos que se le está haciendo un test de COVID a una persona. Nuestras hipótesis son las siguientes:

• \(H_1\) tiene COVID.
• \(H_0\) no tiene COVID.

En este caso es importante disminuir las probabilidades de que \(H_0\) sea aceptado cuando \(H_1\) es la correcta, pues tendríamos un contagiado por las calles que cree que está bien. Por el contrario, si se le dice que tiene COVID y no tiene esto no compromete la salud de las personas.

Pregunta 8:

Explique cual es la diferencia entre el test one-sided y two-sided, de un ejemplo en donde se pueda utilizar one-sided y otro donde se pueda utilizar two-sided. ¿Es un método mejor que el otro?

one-sided se utiliza para comprobar una hipotesis de mayor o menor, es decir, se calcula la probabilidad de que un valor sea solo mayor o solo menor al esperado. Por otro lado, two-sided se utiliza en hipotesis de igualdad o desigualdad, por lo que se calcula la probabilidad de que un cierto valor se encuentre en un intervalo.

one-sided puede ser utilizado en un caso donde una empresa asegura que su producto no sobrepasa cierto peso. En este caso, para comprobar la factibilidad de la hipótesis nula se debería hacer un test one-sided. Por otro lado, two-sided puede ser utilizado en un caso donde una empresa asegura que su producto no tiene un peso igual a cierto valor. En este caso, para comprobar la factibilidad de la hipotesis nula se debería calcular la probabilidad de que las muestras esten fuera de un rango del valor en cuestion.

Tanbien se puede utilizar el test one-sided en casos que se busca desigualdad y se tiene información de los datos sobre la “dirección” del sesgo. Por ejemplo, si se sabe están obteniendo muchas caras en el lanzamiento de una moneda se puede hacer un test one-sided calculando la probabilidad de que esto pase.

Pregunta 9:

Explique, con sus palabras, a que se refiere la siguiente afirmación: “Un resultado de significancia estadística es distinto a uno de significancia practica”. Complemente su respuesta analizando la siguiente frase:

'Se tienen datos normales de media desconocida. Con los datos, se realiza un test de hipótesis donde la hipótesis nula especifica que la media es cero. Realizando el test, se obtuvo un p-valor de $10^{-10}$, luego producto de este resultado la media necesariamente tiene que ser muy distinta a cero.'

Respuesta Aquí

Pregunta 1: Estimadores.

Esta pregunta tiene como objetivo comprobar a través de gráficos las características que poseen los estimadores.Por favor responda de forma separada las siguientes preguntas:

• En clases se vio que el estimador \(\hat{p}_{n} = \frac{1}{n} \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}X_{i}\) es un estimador consistente para \(X_{i}\) Bernoulli de tasa \(p\), verifique esto númericamente para una distribución Bernoulli de \(p=0.5\), es decir grafique como se ve \(\hat{p}_{n}\) para valores de \(n\) y compárelo con el valor verdadero.

• Sabemos que no todos los estimadores insesgados son consistentes. Considere el estimador \(T_{n} = \hat{p}_{n} + \epsilon_{n}\) donde \(\epsilon_{n} \sim \mathcal{N}(0,1)\) es posible verificar que \(T_{n}\) es insesgado pero no es consistente, para ver esto repita lo que realizo en el punto anterior y estudie lo que sucede. ¿Porque cree que no es consistente el estimador?, Justifique su respuesta.

Punto 1

En el siguiente gráfico se puede ver como al aumentar el número de la muestra el estimador de p, \(\hat{p}_{n}\), tiende a p. Por medio de este ejercicio gráfico se puede comprobar que \(\hat{p}_{n}\) es insesgado y consistente.

\[E(\hat{p}_{n}) = p\]

\[\lim_{n \to \infty}(\hat{p}_{n}) = p\]

library(Rlab)

## Rlab 2.15.1 attached.

## 
## Attaching package: 'Rlab'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     dexp, dgamma, dweibull, pexp, pgamma, pweibull, qexp, qgamma,
##     qweibull, rexp, rgamma, rweibull

## The following object is masked from 'package:datasets':
## 
##     precip

n_val = 1000
p = 0.5

list_p_gorro <- c(1:n_val)  # valores del estimador de p
list_p <- c(1:n_val)  # valores de p

list_bern = rbern(n_val, p)

suma_p   <- 0
contador <- 0

for (i in 1:n_val){
  contador <- contador + 1
  suma_p <- suma_p + list_bern[i]
  p_gorro <- suma_p/contador
  list_p_gorro[i]=p_gorro
  list_p[i]=p
}
plot(c(1:n_val), list_p_gorro, type = "l", col = "blue", xlim=c(1,n_val), ylim=c(0,1), ylab = "Probabilidad", xlab = "Muestra", main= "P estimado versus valor real de P en función del número de muestras")
lines(c(1:n_val), list_p, type = "l", col = "orange")

legend(800, 0.9, legend=c("P estimado", "P"),
       col=c("blue", "orange"), lty=1:2, cex=0.8)

Punto 2

En el siguiente gráfico se puede ver como al aumentar el número de la muestra el estimador de p, \(\hat{p}_{n}\), no logra tender a p, aunque su media sea p, esto se debe a que el error gaussiano se mantiene independiente de la cantidad de valores. Por medio de este ejercicio gráfico se puede comprobar que \(T_{n}\) es insesgado pero no consistente.

\[E(T_{n}) = E(\hat{p}_{n}) + E(\epsilon_{n}) = p + 0 = p\] \[\lim_{n \to \infty}(T_{n}) \neq p\]

library("Rlab")

n_val = 1000
p = 0.5

list_p_gorro <- c(1:n_val)  # valores del estimador de p
list_p <- c(1:n_val)  # valores de p
list_e <- rnorm(n_val)
list_bern = rbern(n_val, p)

suma_p   <- 0
contador <- 0

for (i in 1:n_val){
  contador <- contador + 1
  suma_p <- suma_p + list_bern[i]
  p_gorro <- suma_p/contador
  list_p_gorro[i]= p_gorro + list_e[i]
  list_p[i]=p
}
plot(c(1:n_val), list_p_gorro, type = "l", col = "blue", xlim=c(1,n_val), ylim=c(0,1), ylab = "Probabilidad", xlab = "Muestra", main= "P estimado versus valor real de P en función del número de muestras")
lines(c(1:n_val), list_p, type = "l", col = "orange")

legend(800, 0.9, legend=c("P estimado", "P"), col=c("blue", "orange"), lty=1:2, cex=0.8)